Números Racionais e as Frações
Um número racional pode ser escrito na forma:
p
q
|
onde p e q são números inteiros, sendo que q deve ser não nulo, isto é, q deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos p/q para significar a divisão de p por q. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como Q para entender que este número é um número racional.
Os números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros.
Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
Dízima Periódica
Uma dízima periódica é um número real da forma:
p,qrrrrr...
onde p, q e r são números inteiros, sendo que o número r se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses.
Exemplos: Dízimas periódicas
1. 0,3333333... = 0,3
2. 1,6666666... = 1,6
3. 12,121212... = 12,12
4. 0,9999999... = 0,9
5. 7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:
1. 0,333333... = 0,3
2. 3,636363... = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:
1. 0,83333333... = 0,83
2. 0,72535353... = 0,7253
Os números racionais e os números reais
Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que
podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima?
A representação da fração 10/4 em números decimais é 2,5 , assim como a representação decimal da fração 6/4 é 1,5.
Nos dois exemplos a representação decimal é finita, gerando um decimal exato.
Agora qual seria a representação decimal da fração 87/495?
Neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito. 87 dividido por 495 é igual a 0,1757575...,o que chamamos de dizima periódica.
As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo acima temos uma dízima periódica composta.
A dízima periódica composta 0,1757575... foi gerada a partir da fração 87/495, por isto esta fração é chamada de fração geratriz da dízima periódica.
Transformação de Dízimas Periódicas Simples
Para transformar a dizima periódica simples 0,888... em uma fração geratriz basta chama-lá de x. Assim, temos que x=0,888...( equação 1 ), em seguida analisamos o período, no caso " 8 " e por ter apenas um algarismo multiplicamos ambos os membros por 10. Assim obtemos a equação 2:
x=0,888... ( 1 ) (multiplicar por 10 )
10x=8,888... ( 2 )
Em seguida subtraímos uma equação da outra e isolamos x, gerando a fração geratriz, conforme adiante:
10x=8,888...
- x=0,888...
9x=8
x=8
9
Outros exemplos:
a) 0,121212...
x= 0,121212... ( 1 ) (multiplicar por 100 )
100x=12,121212... ( 2 )
100x=12,121212...
- x= 0,121212...
99x=12
x=12
99
b) 0,245245245...
x= 0,245245245... ( 1 ) (multiplicar por 1000 )
1000x=245,245245245... ( 2 )
1000x=245,245245245...
- x= 0,245245245...
999x=245
x=245
999
Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos:
0,111... = 1/9
0,252525... = 25/99
Caso a dízima possua uma parte inteira, basta juntar a parte inteira com
o período e subtrair deste número formado a parte inteira, e assim obtemos o numerador, já para o numerador utilizamos tantos dígitos 9, quanto forem os dígitos do período.
573 – 5/ 99= 568/99
Transformação de Dízimas Periódicas Compostas
0,171353535... =
17135 – 171/ 99000 = 16964/99000 = 4241/2475
O número 17135 é formado pela junção do anteperíodo, 171, com o período, 35. Ao subtrairmos deste número o anteperíodo, obtemos 16964, o numerador da fração geratriz. O denominador é formado por tantos dígitos 9, quantos são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples, seguidos de tantos dígitos 0, quantos são os dígitos do anteperíodo.
E tinha esquecido das geratris
ResponderExcluirComo faz quando numa dizima composta o antecedido é 0?
ResponderExcluirQuer dizer quando o anteperiodo é 0
ResponderExcluirexemplo 4,03535... = 4035 - 40/990 = 3995/990
ResponderExcluir0,12321321321... como resolve
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